Hayretengiz Sayı: "e"

Temel kaideleri ifade etmeye yarayan yapıtaşı mesabesindeki sabit sayılar, birçok bilim dalında kullanılır. Kâinatta umumî bir âhenk ve hassas bir ölçü olduğunun işaretlerini veren bu sabitlerden bazıları; gizemli π ve "e" sayılarıdır. π neredeyse 4.000 yıllık duruşuyla en parlak sayı olsa da, onu bile imrendirecek hususiyetlerle donatılmış "e" sayısı da çok dikkat çekicidir. Bu sayı, kuantum fiziğinden ekonomiye, nano teknolojiden uçak mühendisliğine kadar pek çok sahada, ya logaritmanın (log_e^x = lnx) tabanında yer almakta veya doğrudan kullanılmaktadır. "e" sayısının hayretengiz özelliklerinden biri, y = e^x fonksiyonunun türevinin kendisine eşit olmasıdır. Nehirlerde kirlilik yoğunluğunun düşürülmesi, nüfusun tabiî artışı-azalışı, ev içi sıcaklık dağılımı, roketin uzaydaki hızının belirlenmesi, ilâcın kanda emilme seviyesinin ölçülmesi gibi günlük hayatımıza doğrudan akseden hâdiseleri açıklayan matematik modellerde, "e" sayısı vazgeçilmez hâle gelmiştir. Ayrıca, gök cisimlerinin atmosferindeki tabakaların kalınlığını hesaplarken astrofizikçilerin kullandığı formüle bakınca "e" sayısını görürüz: 



Nükleer fizikte radyoaktif çekirdeğin yarı-ömrünü hesaplarken de aynı "e" formülde yerini alır:



Fizikî hâdiseleri açıklamak ve hayatımızı kolaylaştıran bazı uygulamaları gerçekleştirmek için başvurulan "e" sayısı ve onun ürettiği logaritmik ve üssel fonksiyonlar, çıplak gözle göremediğimiz çok büyük ve çok küçük âlemlerde cereyan eden hâdiseleri izah etmekte de kullanılmaktadır. 

Hususiyetlerle donatılmış "e" sayısının nasıl keşfedildiğini anlamak için matematik tarihinde kısa bir seyahat yapmakta fayda var. "e" sayısı da tıpkı π gibi irrasyoneldir. Yani ½ (yarım), ¼ (çeyrek) gibi iki tam sayının oranı şeklinde yazılan rasyonel (kesirli) sayılardan değildir. İlk irrasyonel sayının keşfi, milâttan önce 6. yüzyılda "Pisagor teoremi"nin bulunmasıyla gerçekleşmiştir. İnsanlık o zamana kadar saymak için 1,2,3 gibi tam sayıları, paylaşmak için de ½ (yarım), ¼ (çeyrek) gibi rasyonel sayıları kullanıyordu. Pisagor teoremi bulununca, karesi iki olan bir sayıyla yüzleşmek zorunda kalındı. Şöyle ki: Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları a ve b, hipotenüsün uzunluğu da c ise, Pisagor teoremine göre a²+b²=c²'dir. Burada a=1 ve b=1 alınırsa c²=2 olur ki bu, hipotenüsün uzunluğunun karesinin iki santimetre olması demektir. Böylece karesi iki olan c sayısının nasıl bir sayı olduğu problemi ortaya çıkmış oldu.

Pisagorcular, kâinattaki umumî ahengin temelinde sadece tam sayıların ve onların oranlarının yani rasyonel (kesirli) sayıların bulunduğuna inandıkları için karesi iki olan sayının da rasyonel olduğunu düşündüler. Fakat karesi iki olan sayıyı, herhangi iki tam sayının oranı şeklinde göstermenin mümkün olmadığını keşfetmeleri fazla uzun sürmedi. Bu gerçek, Pisagorcuların "tam sayılar" felsefesini çökertmiştir. Pisagorcular bu durumdan korktukları için, bu meselenin bir sır olarak kalmasını istemişlerdir. Belki de bu yüzden rasyonel olmayan bu tip sayılara Lâtince "akıl dışı" mânâsına gelen irrasyonel ismi verilmiştir. Rivayete göre, en sonunda Pisagor okulunun Metapontlu Hippasos isimli bir ferdi, bu sırrı saklayamayarak dışarı sızdırmış ve bunu canıyla ödemiştir. Bu durum, hem iki tam sayının oranı olmayan ve irrasyonel denen sayıların varlığını ortaya koyarken, hem de rasyonel sayıların yalnız başına yüklendiği misyonu hafifletmiş oldu. Bu hâdiseden sonra, çoğu matematikçi bu yeni kümenin özelliklerini bulmaya ve hangi sayıların irrasyonel olduklarını araştıracaktı. 

Nihayet 17. asırda matematikte, uygulaması modern günlük hayatımıza doğrudan yansıyacak yeni bir sayı fark edildi. Bu sayıya ilk bakan ama tam olarak anlayamayan, İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1614 yılında "Hayret Verici Logaritma Kurallarının Tanımı" (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio) kitabında "e" sabitini kullanarak hesaplar yapmıştır. "e" sayısının önemini gerçek mânâda ilk gören İsviçreli matematikçi Jakob Bernouilli'dir. Bu sayı, bileşik faizde anaparanın en fazla ne kadar katlanabileceğini anlamaya yarayacağı için ve gerçek değeri bilinmediğinden Bernoulli tarafından 1683'te yaklaşık 2,718 olarak hesaplanmıştır. İsviçreli matematik dehası Leonhard Euler 1731'de, n sonsuza gittikçe (1+1/n)ⁿ değerlerinin sabit bir sayıya yaklaştığını ispatlayıp bu sayıyı "e" ile gösterince bu mühim sayının isim babası olmuştur.



Yaklaşma tabiri matematikte limit kavramıyla ifade edilir ve yukarıdaki durum formülüyle özetlenir.

Euler aşağıdaki toplamın da e sayısına eşit olduğunu gösterip, e sayısının virgülden sonraki 18 basamağını hesaplamıştır. Dikkat edilirse, ilk yirmi terimin toplamı Euler'in bulduğu 2,718281828459045235 sayısını vermektedir:



Günümüz matematiğinde ise, "Euler sayısının" (veya diğer ismiyle "Napier sayısının") binlerce basamağı bilinmektedir; fakat en üstün donanımlı bilgisayarlar kullanılarak durmadan hesaplansa bile bu esrarlı sayının bütün rakamlarını bulmak imkânsızdır. Çünkü e'nin irrasyonel olduğu da ispatlanmıştır ve irrasyonelliğin temel hususiyetlerinden biri virgülden sonra gelen sonsuz rakamın blok hâlinde kendini tekrarlamamasıdır. Tekrarlı sayıların niçin rasyonel olduğunu daha iyi anlamak için şu misâle bakalım. Sayımız A=0,123123123...ise 123 bloğunun virgülden sonra sonsuza kadar tekrar ettiğini görürüz. Blokta 3 rakam olduğu için sayıyı 1000 ile çarparsak 1000A=123,123123123...elde edilir. 1000A ile A'nın virgülden sonrası aynı olduğu için farkları, yani 999A, 123'e eşit olur. 999 katı 123 olduğundan A=123/999 olur. Netice itibariyle iki tam sayının oranı olduğu için A'nın rasyonel bir sayı olduğunu anlarız. İşte e sayısının ondalık açılımında, irrasyonel olması sebebiyle, virgülden sonra A rasyonel sayısındaki gibi sonsuza kadar tekrar eden bir blok olmayacaktır. 

"e" sabiti, sonsuz ilim deryasının bizim düşünce gölümüze düşmüş küçük bir damlası olsa gerek. Çünkü tam sayılar sonsuz sayıda olduğu gibi, komşu tam sayı çiftlerinin arasındaki irrasyonel sayılar da sonsuz sayıdadır. Sonsuz olsalar da kâinattaki umumî âhengi açıklamaya tam sayıların ve onların oranlarının yetmediğini Pisagor ve çağdaşları anlamıştı. Günümüz insanı ise, bu konuda irrasyonel sayıların da yetersiz kaldığını düşünmekte ve diğer sayı sistemlerinin özelliklerini araştırmaktadır. Zaten kâinattaki nizamın gerçek Müellifini merak eden ve tanımaya gayret gösteren bir hakikat yolcusuna yakışan da, her bir ilim dalında O'nun (celle celâluhu) bir mübarek isminin tezahürünü aramak değil midir?!.. 

kaynak http://www.sizinti.com.tr/